Thema-avond 2012: Speelplan en kaartverdeling (door Maurice Peereboom)
Kansen op bepaalde kaartverdelingen
De Kaartverdeling
♠A H V B 10 9 8 7 6 5 4 3 2
♥ -
♦ -
♣ -
Hoe groot is de kans op deze hand?
Antwoord: 635x10^9 ; 1x10^9 = 1 miljard
En hoe groot is de kans op de volgende hand?
♠A V 3
♥H B 10 9
♦8 7
♣H V 3 2
● Even waarschijnlijk ?
● Waarschijnlijker ?
● Veel waarschijnlijker ?
Antwoord: Even (on)waarschijnlijk.
Andere Berekeningen:
nDe kans op een Yarborough : 1 op 1827
nDe kans op een hand met 5 ♠‘s: ca. 12%
nDe kans op een 5332 : 15,5%
Met behulp van schudmachines worden random handen geproduceerd.
Klik hier voor een Schema met allerlei kansverdelingen
Enige conclusies:
● De SA verdeling maakt 47,6 % uit van het geheel
● De 4333 is maar 10,5% (de helft van de 4432)
● Een 6-kaart komt 18,5 % voor, een 7-kaart 3,5%
Dus 2 op de 9 spellen kent een lange kaart.
Klik hier voor een grafiek met kansverdelingen voor de volgende 4 reeksen
Reeks 1 = statistisch Reeks 2 = schudmachine Reeks 3 = maximum Reeks 4 = minimum
Hoe zitten ontbrekende kaarten verdeeld (kansverdeling) ?
8 kaarten 7 kaarten 6 kaarten 5 kaarten 4 kaarten 3 kaarten
5-3 47% 4-3 62% 4-2 48% 3-2 68% 3-1 50% 2-1 78%
4-4 33% 5-2 31% 3-3 36% 4-1 28% 2-2 40% 3-0 22%
6-2 17% 6-1 7% 5-1 15% 5-0 4% 4-0 10%
Conclusies:
● Bij een oneven aantal (3,5,7):
komt de meest evenwichtige verdeling het meest voor [60-70 %]
● Bij een even aantal (4,6,8):
komt de bijna meest evenwichtige verdeling het meest voor [ca 50 %]
N.B. Dit zijn kansen “a priori” !!
====================================================================
Twee voorbeelden: Je moet naast je 4 vaste slagen nog 1 extra slag maken en je mag niet van slag
dummy: ♠AVxx
♣xxxx
---
hand: ♠xx
♣AHVx
Snit in ♠: 50% kans op succes. Klaveren van top afspelen; succes bij 3-2 zitsel: 70% kans.
dummy: ♠AVxx
♣xxx
---
hand: ♠xx
♣AHVx
Snit in ♠: 50% kans op succes. Klaveren van top afspelen; succes bij 3-3 zitsel: slechts 40% kans.
Je kunt echter meer te weten te komen via de kans “a posteriori”
dummy: ♠AHVxx 6 kaarten ontbreken
--- Als iedereen op A en H bekent:
hand: ♠ xx kans op 4-2 zitsel was 48%, maar wordt nu 57%
kans op 3-3 was 36%, wordt nu 43%
Vergelijk deze kans “a posteriori” met kans geslaagde snit !
Voorbeeld 1:
♠74 ♠A6 Contract: 3SA
♥V7542 ♥AH Zuid komt uit met ♠
♦973 ♦AH64
♣AV6 ♣B10742 Uitkomst nemen met ♠A, dan ♥A en ♥H (iedereen bekent)
3-3 nu 43% maar snit 50%
Voorbeeld 2:
♠74 ♠A6 Contract: 3SA
♥V10 542 ♥AH Zuid komt uit met ♠
♦973 ♦AH64
♣AV6 ♣B10742 Uitkomst nemen met ♠A, dan ♥A en ♥H (iedereen bekent met kleine kaart)
Bx niet aanwezig: 4-2 niet 48% maar 32%; Daardoor 3-3 nu niet 36% maar 52,4%
====================================================================
Gebruik maken van kennis van kansen op bepaalde zitsels
Voorbeeld 3
♠74 ♠AH952 Contract: 3SA
♥7 ♥ VB6 Zuid komt uit met ♥5
♦AHV8654 ♦ Na ♥A en ♥H komt Oost aan slag met ♥V
♣AV6 ♣ B10742
Aantal vaste slagen: 7
Weer: 3-3 = 35% en snit = 50% (kans op ♣H sec = 1%)
Voorbeeld 4
♠74 ♠HVB10 Contract: 6SA
♥AH8762 ♥ 4 Zuid komt uit met ♥B
♦865 ♦ AHVB
♣82 ♣ AHV10
Moet je nu ♠ gaan spelen (dan moet ♣B vallen) of beter direct ♣ snijden?
(N.B. je kunt maar één hartenslag oprapen als je de schoppens gaat spelen)
Bij 4-3 3/7 x 62 %
bij 5-2 2/7 x 30,5%
bij 6-1 1/7 x 7 % totaal ca 40%
Dus : snijden want dan is de kans op succes 50% !
====================================================================
Speelwijzen combineren
Voorbeeld 5
♠987 ♠AHVB103
♥10632 ♥AH5
♦105 ♦AV
♣10943 ♣82
Contract: 4♠
De tegenstanders rapen ♣A, ♣H op en spelen ♣5 voor ♣V en getroefd in oost.
9 vaste slagen
Troef zit 2-2
Speel je nu op ♥ 3-3 verdeeld of speel je ♠3 naar ♠9 en snijd je op ♦H ?
De kans op ♥ 3-3 verdeeld of ♥Vx of ♥Bx bij Oost is 48%, plus 1/2x 52%, totaal 74%. Dus het beste is ♥A,H,5 afspelen.
Met het volgende zitsel is dit winnend:
Noord
♠987
♥10632
♦105
West ♣10943 Oost
♠65 ♠42
♥V974 ♥B8
♦H97 ♦B86432
♣AHB5 Zuid ♣V76
♠AHVB103
♥AH5
♦AV
♣82
Voorbeeld 6
♠B4 ♠A3 Contract: 3SA
♥8762 ♥ AV Zuid komt uit met ♠6
♦A65 ♦ H9842 7 vaste slagen
♣AH82 ♣ V654
Nodig: ♣ 3-2 verdeeld (68%) én ♥H goed! (50%). Totale slagingskans = 34%
Voorbeeld 7
♠B4 ♠A3 Contract: 3SA
♥876 ♥ AVB Zuid komt uit met ♠6
♦A65 ♦ H9842 7 vaste slagen
♣AH852 ♣ V64
Nu: 3-2 óf ♥H goed. Totale slagingskans = 68% + ½ x 32 = 84%
Voorbeeld 8
♠74 ♠AV Contract: 6♦
♥AV62 ♥B83 Zuid komt uit met ♣B
♦B1063 ♦AHV984 2 mogelijke verliezers: ♠H en ♥H
♣H82 ♣ A4
Speel ♥2 naar de ♥B: Totale slagingskans = 3-3 zitsel (35%) + ½ x ♥H goed (100 -35) = 67,5%
Conclusies
● Let op de belangrijkste zitsels van ontbrekende kaarten
● Maar bekommer je niet om marginale effecten
● Beslis dan snel en hoop er dan maar het beste van
====================================================================
Snijden of slaan (en 'restricted choice')
Er ontbreekt de: Slaan bij Snijden bij
Heer 11 of meer 10 of minder
Vrouw 9 of meer 8 of minder
Boer 7 of meer 6 of minder
● Vuistregel: Nine never, eight ever 2-2 = 40% + V-sec = ¼ X 50% = 52%
Altijd Eight Ever , Nine Never ?
Geval 1 N ♠Axxx
Z ♠Hxxxx Speel A en H: kans van 52% dat de schoppens 2-2 verdeeld zitten
Geval 2 N ♠A10xx Op ♠H speelt oost de ♠V of de ♠B
Z ♠Hxxxx Slaan of snijden?
Kansverdeling a priori:
2-2: 41% 3-1: 49% 4-0: 10%
W O W O W O
VB 32 VB2 3 -- VB32
V3 B2 VB3 2 VB32 --
V2 B3 V32 B
B3 V2 B32 V
B2 V3 V B32
32 VB B V32
3 VB2
2 VB3
Kansen a priori : Oost heeft V sec = 49/8 = 6,2 %; Oost heeft VB sec = 41/6= 6,8%.
Er lijkt dus weinig verschil te zijn in de kans op succes als je slaat of snijdt, maar dit is onjuist !
Dit probleem is vergelijkbaar met het driedeurenprobleem van de Monty Hall (of Willem Ruis Show)
Er zijn drie deuren waarvan er twee zijn afgesloten en één die niet is afgesloten en een grote prijs bevat.
Je mag willekeurig één deur aanwijzen. Vervolgens toont de quizmaster dat één van de beide andere deuren is afgesloten.
De vraag is nu of je het beste bij je eerste keuze kunt blijven of dat je beter kunt switchen naar de andere deur die nog niet is geprobeerd ?
Antwoord: Dit is een geval van a posteriori kansverdeling. Vooraf is de kans bij iedere deur 1/3. De kans dat je dus de juiste deur hebt aangewezen
in het begin is dan ook 1/3. Deze kans verandert niet doordat de quizmaster één van de beide andere deuren heeft geëlimineerd.
Dus is de kans op succes 2/3 als je switcht naar de andere deur die nog niet is geprobeerd.
In bridge wordt dit geval 'restricted choice' genoemd. Het essentiële punt hier is dat als oost VB sec heeft hij/zij de helft van de keren de V bijspeelt en de helft van de keren de B. Dus de kans dat oost BV sec heeft is maar half zo groot als dat het een secce honneur was. In bovenstaande 'Geval 2' is dus de kans dat West de andere ontbrekende honneur heeft 2/3 en dus is het veel kansrijker om te snijden (2/3 kans op succes) dan te slaan (1/3 kans of succes) !
====================================================================
Theorie van de vacante plaatsen
● Wanneer de verdeling van 1 (of meer)kleur(en) VOLLEDIG bekend is,
● is de kans dat een tegenstander een specifieke kaart heeft in een andere kleur, evenredig met het aantal resterende vacante plaatsen in de hand
Voorbeeld 1
Stel je bezit:
♠AB5 (dummy)
♠H103 (hand)
Links heeft geopend met 1♠ (5-kaart), rechts heeft dus een doubleton ♠ : Kans op ♠V links is 5/7
Links heeft nog 6 plaatsen vrij en Rechts heeft nog 11 plaatsen vrij: voor elke kaart in een andere kleur is de kans dus 11/6 bij rechts.
Voorbeeld 2
♠V75 ♠H9
♥A10763 ♥VB9842
♦82 ♦A65
♣1095 ♣A3
Noord opent 3♦ (7-kaart), OW spelen 4♥
Zuid komt uit met ♦V, door Noord met de ♦H overgenomen.
Op ♥V speelt Zuid de ♥5 (alleen de ♥H is nog niet bekend) A priori: kans op 1-1 = 52 %
Maar: Zuid heeft nog 11 vacante plaatsen, Noord nog 6. Kans op Heer bij Zuid: 11/6 (65%) Dus snijden !
Algemene regel:
Als een speler een groot aantal kaarten in een bekende zijkleur bezit is de kans dat hij ook het grootste aantal in een andere kleur bevat, klein.
= Wet van Borel & Cheron
'Een lange kleur trekt een korte kleur aan en stoot een andere lange kleur af'
Samenvatting
● Willekeurig door de computer gedeelde spellen voldoen aan het theoretische verwachtingsmodel.
● Verdelingstabel voor ontbrekende kaarten ,geven a priori percentages.
● Onthoud alleen de belangrijkste situaties: ze geven steun bij de beslissing snijden of opvallen spelen.
● Probeer kansen te combineren en houd (indien mogelijk) rekening met “slechte” zitsels
● Wanneer twee speelwijzen weinig van elkaar lijken te verschillen, kies dan snel en hoop er het beste van
● Kansen veranderen sterk door bieden of spelen:grote lengte in één kleur, trekt een tekort in een ander kleur aan
● Het meest praktische hulpmiddel aan tafel, is het tellen van de lege plaatsen, als het zitsel van tenminste 1 kleur volledig bekend is.
====================================================================
De oefenspellen
Spel 1 Noord/Niemand
Noord
♠ H 8 7
♥ H V B
♦ 9 7 5 4
West ♣ 10 9 6 Oost
♠ V B 5 ♠ A 6 3
♥ 6 4 3 ♥ 7 5 2
♦ A B 10 2 ♦ H
♣ 8 5 3 Zuid ♣ A H V 7 4 2
♠ 10 9 4 2
♥ A 10 9 8
♦ V 8 6 3
♣ B
West speelt 3SA. Uitkomst: ♥H.
-----------------------------------------------------
Nadat NZ 4 ♥-slagen hebben gemaakt, vervolgt Zuid met ♦3. In O en W is een kleine ♠ weggedaan.
Maar nu?
a. Of laten lopen naar ♦H en hopen dat de ♣ 2-2 zit, zodat je met ♣ terug kunt naar de hand om ♦A te kunnen incasseren.
b. Neem ♦A en snij op ♠ H
a: kans 2-2 = 40%
b. snit = 50 %
=========================================
Spel 2 Oost/NZ
Noord
♠ A 5
♥ A V 3
♦ H 7 6 5
West ♣ V 9 4 2 Oost
♠ B 7 ♠ V 6 4 3
♥ B 10 4 ♥ H 9 8 6 5
♦ V 9 8 3 ♦ 10 2
♣ A 10 7 6 Zuid ♣ H 3
♠ H 10 9 8 2
♥ 7 2
♦ A B 4
♣ B 8 5
Noord speelt 2SA. Uitkomst ♥5.
-----------------------------------------------------
Je hebt 6 vaste slagen: 2♠, 2♥ en 2♦
Sla ♠ A en ♠ H: succesvol bij 3-3 en 4-2 met honneurs verdeeld
3-3 = 35 %.
Alle 4-2 = 48%, maar als je VBxx buiten beschouwing laat, nog ca 28%
Dus totale slaagkans: ca 63%.
=========================================
Spel 3 Zuid/NZ
Noord
♠ H B 10 4
♥ A H 7 3
♦ A V 4
West ♣ H 6 Oost
♠ 7 ♠ 6 5 2
♥ 10 8 2 ♥ V 9 6 4
♦ 10 9 3 2 ♦ H B 7
♣ V 9 7 5 3 Zuid ♣ A B 4
♠ A V 9 8 3
♥ B 5
♦ 8 6 5
♣ 10 8 2
Zuid speelt 4♠. Uitkomst: ♣5.
-----------------------------------------------------
De 3e klaveren wordt getroefd.
De ♦ snit geeft een 50% slaagkans, maar het kan beter: Speel eerst ♥3 naar de ♥B: als de ♥V gunstig zit maak je 3 ♥slagen, zodat er een ♦ weg kan op de derde harten. Zit ♥V fout, dan blijft de snit nog over.
Dus kans a priori = 75%
=========================================
Spel 4 West/Allen
Noord
♠ V 9 2
♥ V 8
♦ H 7 4 2
West ♣ V 9 5 3 Oost
♠ 6 4 ♠ H 10 3
♥ H B 7 3 ♥ A 9 2
♦ A V 9 5 ♦ B 10 8
♣ 7 6 4 Zuid ♣ A H B 2
♠ A B 8 7 5
♥ 10 6 5 4
♦ 6 3
♣ 10 8
Oost speelt 3SA. Uitkomst ♠ 5 of ♠ 7.
-----------------------------------------------------
Met ♦H goed heb je al de 9 slagen. Maar je kunt de kansen verbeteren door eerst de bijkleur te testen. Speel de ♥-kleur aan: ♥V blijkt 2e te zitten Zodat de ♥10 eruit gesneden kan worden. Omdat Zuid al 4+ in ♠ heeft +4 in ♥, moet hij kort zijn in de lage kleuren. De ♦ snit lijkt daardoor minder kansrijk. Speel ♣A, steek over naar ♦A en snij over ♣V.
=========================================
Spel 5 Noord/NZ
Noord
♠ 9 5
♥ A H B 8 6 2
♦ A 9 5
West ♣ A V Oost
♠ H 10 7 4 2 ♠ B 8 6 3
♥ 7 4 3 ♥ 5
♦ H 8 2 ♦ V B 10 3
♣ B 9 Zuid ♣ H 10 6 2
♠ A V
♥ V 10 9
♦ 7 6 4
♣ 8 7 5 4 3
Noord speelt 4♥. Uitkomst ♦V.
-----------------------------------------------------
Je hebt 9 slagen. Eén geslaagde snit (van de twee) is al voldoende (75%).
Maar beter is ♣A en ♣V te spelen. Wanneer de ♣ kleur 3-3 of 4-2 zit (samen 84%), kun je 1♣ vrij troeven voor een ♠-discard.
[Zit de de kleur onverhoopt 5-1, dan heb je altijd nog de ♠ snit] [ a priori kans 84 + ½ x(100-84)= 92%].
=========================================
Spel 6 Zuid/OW
Noord
♠ H
♥ A `8 4 3 2
♦ V 7 4
West ♣ 10 9 7 4 Oost
♠ V 7 3 ♠ A 6 4
♥ V 10 5 ♥ 9 7
♦ A 9 6 5 ♦ H B 10 8 3
♣ B 6 2 Zuid ♣ A H 5
♠ B 10 9 8 5 2
♥ H B 6
♦ 2
♣ V 8 3
Oost speelt 3SA. Uitkomst ♠B, ♠3, ♠H(!),♠A.
-----------------------------------------------------
Kennelijk zit ♠ H sec. Op ♦A en kleine ♦ naar de ♦H, speelt Noord 2x een kleine ♦ bij. Wat nu? Spelen op het vallen van ♦V of snijden op ♦V. A priori is de kans op 2-2 40,7%, maar door het spelen van 2x een kleine ♦ door Noord zijn een aantal verdelingen uitgesloten, nl. de 2-2 met de V in Noord (20,4 %) en ook de 3-1 met V-sec heeft zich niet voorgedaan, dus blijft de helft van 3-1 over = ½ x 50 = 25% met de kans op Vxx bij noord : 19%. De verhouding wordt dan 20,4 / 19 of 52% ten gunste van de 2-2.
Niettemin moet je toch snijden: Zuid heeft 6♠ + 1♦ = 7 kaarten laten zien:dus nog 6 vacante plaatsen. Noord heeft 1♠ + 2♦ = 3, dus nog 10 lege plaatsen. Kans op ♦V bij Noord: 10/16 oftewel 62,5%.
=========================================
Spel 7 Zuid/Allen
Noord
♠ 9 7 3
♥ A B 9 7 3
♦ H B 10 4
West ♣ 6 Oost
♠ V B 10 2 ♠ H 6 4
♥ 4 ♥ H 10
♦ A 8 6 5 ♦ 9 3 2
♣ B 9 8 3 Zuid ♣ H 10 7 4 2
♠ A 8 5
♥ V 8 7 6 2
♦ V 7
♣ A V 5
Zuid 4♥, Uitkomst ♠ V.
-----------------------------------------------------
Je telt 2♠ verliezers en ♦A. Op een kleine ♥ speelt west klein bij.
Snijden op ♥H geeft een 50% kans, beter is: Sla ♥A (kans op♥H sec bij Oost = 1/3 x 78 x1/2 = 13%, ) en neem direct de ♣-snit (50%).
A priori kans 63%.
=========================================
Spel 8 West/Niem
Noord
♠ 9 5
♥ A H 9 8
♦ H B 9 6
West ♣ B 10 8 Oost
♠ A H V B 6 4 3 ♠ 10 8 7
♥ 7 2 ♥ B 3
♦ 5 ♦ A 7 4 3 2
♣ A 5 4 Zuid ♣ 9 6 2
♠ 2
♥ V 10 6 5 4
♦ V 10 8
♣ H V 7 3
West speelt 4♠. Uit : ♥A,♥H en ♣B.
-----------------------------------------------------
Je hebt 4 verliesslagen (2♥ +2♣).
Je kunt een ♣ wegdoen op een vrije ♦ als die 4-3 verdeeld zit (62%). Daarvoor moet je 4x aan tafel komen. Je moet dus direct op ♠ 9 snijden. Dus totale kans: ½ x 62 = 31%. (Noord kan deze winstkans elimineren door in plaats van ♣B troef na te spelen.)
=========================================
Spel 9 Noord/OW
Noord
♠ V 8
♥ B 10 7 6 5
♦ 6 3 2
West ♣ V 3 2 Oost
♠ B 9 5 2 ♠ H 10 7 6 4 3
♥ A 9 3 2 ♥ H V
♦ A H 9 8 ♦ 10 5
♣ A Zuid ♣ H 7 5
♠ A
♥ 8 4
♦ V B 7 4
♣ B 10 9 8 6 4
Oost speelt 6♠. Uitkomst ♦V.
-----------------------------------------------------
Op een kleine ♠ uit West speelt Noord ♠8 bij. Je mist nog ♠V en ♠A. Wat speel je uit de hand? De volgende mogelijkheden zijn er:
Noord Zuid
8 AV
V8 A
A8 V
AV8 -
Voor de 1e situatie bestaat er geen remedie. In 2 van de 3 andere situaties is snijden beter: speel dus laag uit de hand.
=========================================
Spel 10 Zuid/Allen
Noord
♠ H B
♥ 7 5 4
♦ A B 9 8 7 6
West ♣ 10 3 Oost
♠ A 10 8 ♠ 9 5 4 3
♥ H V 10 8 ♥ B 3 2
♦ 5 3 ♦ V 2
♣ 9 7 6 4 Zuid ♣ V B 8 5
♠ V 7 6 2
♥ A 9 6
♦ H 10 4
♣ A H 2
Zuid speelt 3SA. Uitkomst ♥H.
-----------------------------------------------------
Je hebt 5 vaste slagen. Er moeten nog 4 slagen ontwikkeld worden. ♦ is de werkkleur. Je moet ♦V vinden: met 9 kaarten en ♦A en ♦H: slaan.
=========================================
Spel 11 Zuid/Niem
Noord
♠ H 4 3
♥ V 9 8 5 2
♦ V 10 8
West ♣ A 2 Oost
♠ V 9 5 ♠ A B 8
♥ B 10 7 ♥ A H
♦ A 7 6 4 ♦ B 3
♣ V 8 6 Zuid ♣ H 10 9 7 5 4
♠ 10 7 6 2
♥ 6 4 3
♦ H 9 5 2
♣ B 3
West speelt 3SA. Uitkomst: ♥2.
-----------------------------------------------------
Speel ♣ naar de ♣V, genomen door het aas. Eenmaal aan slag: een kleine ♣ naar de H10: Noord speelt klein. Snijden op de ♣B of de Heer zetten?
Ook hier: met 9 kaarten samen : slaan.
=========================================
Spel 12 West/NZ
Noord
♠ A H 9 7
♥ A 10 2
♦ -
West ♣ A H B 7 3 2 Oost
♠ V 10 4 ♠ 8 6 3
♥ 6 5 4 3 ♥ H 9 8
♦ H 7 6 3 2 ♦ A V B 8 6 4
♣ 6 Zuid ♣ 10
♠ B 5 2
♥ V B 7
♦ 10 9
♣ V 9 8 5 4
Noord speelt 6♣. Uitkomst ♦A.
-----------------------------------------------------
Bij het spelen blijkt ♥H verkeerd te zitten. Er mag dus geen ♠-slag verloren gaan.
Er zijn twee mogelijkheden:
(1) AH slaan en dus spelen op Vx (= 1/3 x 48 =16%)
(2) Dubbele snit op V10 bij West (= ½ x ½ = ¼ of 25%)
Kansen op bepaalde kaartverdelingen
De Kaartverdeling
♠A H V B 10 9 8 7 6 5 4 3 2
♥ -
♦ -
♣ -
Hoe groot is de kans op deze hand?
Antwoord: 635x10^9 ; 1x10^9 = 1 miljard
En hoe groot is de kans op de volgende hand?
♠A V 3
♥H B 10 9
♦8 7
♣H V 3 2
● Even waarschijnlijk ?
● Waarschijnlijker ?
● Veel waarschijnlijker ?
Antwoord: Even (on)waarschijnlijk.
Andere Berekeningen:
nDe kans op een Yarborough : 1 op 1827
nDe kans op een hand met 5 ♠‘s: ca. 12%
nDe kans op een 5332 : 15,5%
Met behulp van schudmachines worden random handen geproduceerd.
Klik hier voor een Schema met allerlei kansverdelingen
Enige conclusies:
● De SA verdeling maakt 47,6 % uit van het geheel
● De 4333 is maar 10,5% (de helft van de 4432)
● Een 6-kaart komt 18,5 % voor, een 7-kaart 3,5%
Dus 2 op de 9 spellen kent een lange kaart.
Klik hier voor een grafiek met kansverdelingen voor de volgende 4 reeksen
Reeks 1 = statistisch Reeks 2 = schudmachine Reeks 3 = maximum Reeks 4 = minimum
Hoe zitten ontbrekende kaarten verdeeld (kansverdeling) ?
8 kaarten 7 kaarten 6 kaarten 5 kaarten 4 kaarten 3 kaarten
5-3 47% 4-3 62% 4-2 48% 3-2 68% 3-1 50% 2-1 78%
4-4 33% 5-2 31% 3-3 36% 4-1 28% 2-2 40% 3-0 22%
6-2 17% 6-1 7% 5-1 15% 5-0 4% 4-0 10%
Conclusies:
● Bij een oneven aantal (3,5,7):
komt de meest evenwichtige verdeling het meest voor [60-70 %]
● Bij een even aantal (4,6,8):
komt de bijna meest evenwichtige verdeling het meest voor [ca 50 %]
N.B. Dit zijn kansen “a priori” !!
====================================================================
Twee voorbeelden: Je moet naast je 4 vaste slagen nog 1 extra slag maken en je mag niet van slag
dummy: ♠AVxx
♣xxxx
---
hand: ♠xx
♣AHVx
Snit in ♠: 50% kans op succes. Klaveren van top afspelen; succes bij 3-2 zitsel: 70% kans.
dummy: ♠AVxx
♣xxx
---
hand: ♠xx
♣AHVx
Snit in ♠: 50% kans op succes. Klaveren van top afspelen; succes bij 3-3 zitsel: slechts 40% kans.
Je kunt echter meer te weten te komen via de kans “a posteriori”
dummy: ♠AHVxx 6 kaarten ontbreken
--- Als iedereen op A en H bekent:
hand: ♠ xx kans op 4-2 zitsel was 48%, maar wordt nu 57%
kans op 3-3 was 36%, wordt nu 43%
Vergelijk deze kans “a posteriori” met kans geslaagde snit !
Voorbeeld 1:
♠74 ♠A6 Contract: 3SA
♥V7542 ♥AH Zuid komt uit met ♠
♦973 ♦AH64
♣AV6 ♣B10742 Uitkomst nemen met ♠A, dan ♥A en ♥H (iedereen bekent)
3-3 nu 43% maar snit 50%
Voorbeeld 2:
♠74 ♠A6 Contract: 3SA
♥V10 542 ♥AH Zuid komt uit met ♠
♦973 ♦AH64
♣AV6 ♣B10742 Uitkomst nemen met ♠A, dan ♥A en ♥H (iedereen bekent met kleine kaart)
Bx niet aanwezig: 4-2 niet 48% maar 32%; Daardoor 3-3 nu niet 36% maar 52,4%
====================================================================
Gebruik maken van kennis van kansen op bepaalde zitsels
Voorbeeld 3
♠74 ♠AH952 Contract: 3SA
♥7 ♥ VB6 Zuid komt uit met ♥5
♦AHV8654 ♦ Na ♥A en ♥H komt Oost aan slag met ♥V
♣AV6 ♣ B10742
Aantal vaste slagen: 7
Weer: 3-3 = 35% en snit = 50% (kans op ♣H sec = 1%)
Voorbeeld 4
♠74 ♠HVB10 Contract: 6SA
♥AH8762 ♥ 4 Zuid komt uit met ♥B
♦865 ♦ AHVB
♣82 ♣ AHV10
Moet je nu ♠ gaan spelen (dan moet ♣B vallen) of beter direct ♣ snijden?
(N.B. je kunt maar één hartenslag oprapen als je de schoppens gaat spelen)
Bij 4-3 3/7 x 62 %
bij 5-2 2/7 x 30,5%
bij 6-1 1/7 x 7 % totaal ca 40%
Dus : snijden want dan is de kans op succes 50% !
====================================================================
Speelwijzen combineren
Voorbeeld 5
♠987 ♠AHVB103
♥10632 ♥AH5
♦105 ♦AV
♣10943 ♣82
Contract: 4♠
De tegenstanders rapen ♣A, ♣H op en spelen ♣5 voor ♣V en getroefd in oost.
9 vaste slagen
Troef zit 2-2
Speel je nu op ♥ 3-3 verdeeld of speel je ♠3 naar ♠9 en snijd je op ♦H ?
De kans op ♥ 3-3 verdeeld of ♥Vx of ♥Bx bij Oost is 48%, plus 1/2x 52%, totaal 74%. Dus het beste is ♥A,H,5 afspelen.
Met het volgende zitsel is dit winnend:
Noord
♠987
♥10632
♦105
West ♣10943 Oost
♠65 ♠42
♥V974 ♥B8
♦H97 ♦B86432
♣AHB5 Zuid ♣V76
♠AHVB103
♥AH5
♦AV
♣82
Voorbeeld 6
♠B4 ♠A3 Contract: 3SA
♥8762 ♥ AV Zuid komt uit met ♠6
♦A65 ♦ H9842 7 vaste slagen
♣AH82 ♣ V654
Nodig: ♣ 3-2 verdeeld (68%) én ♥H goed! (50%). Totale slagingskans = 34%
Voorbeeld 7
♠B4 ♠A3 Contract: 3SA
♥876 ♥ AVB Zuid komt uit met ♠6
♦A65 ♦ H9842 7 vaste slagen
♣AH852 ♣ V64
Nu: 3-2 óf ♥H goed. Totale slagingskans = 68% + ½ x 32 = 84%
Voorbeeld 8
♠74 ♠AV Contract: 6♦
♥AV62 ♥B83 Zuid komt uit met ♣B
♦B1063 ♦AHV984 2 mogelijke verliezers: ♠H en ♥H
♣H82 ♣ A4
Speel ♥2 naar de ♥B: Totale slagingskans = 3-3 zitsel (35%) + ½ x ♥H goed (100 -35) = 67,5%
Conclusies
● Let op de belangrijkste zitsels van ontbrekende kaarten
● Maar bekommer je niet om marginale effecten
● Beslis dan snel en hoop er dan maar het beste van
====================================================================
Snijden of slaan (en 'restricted choice')
Er ontbreekt de: Slaan bij Snijden bij
Heer 11 of meer 10 of minder
Vrouw 9 of meer 8 of minder
Boer 7 of meer 6 of minder
● Vuistregel: Nine never, eight ever 2-2 = 40% + V-sec = ¼ X 50% = 52%
Altijd Eight Ever , Nine Never ?
Geval 1 N ♠Axxx
Z ♠Hxxxx Speel A en H: kans van 52% dat de schoppens 2-2 verdeeld zitten
Geval 2 N ♠A10xx Op ♠H speelt oost de ♠V of de ♠B
Z ♠Hxxxx Slaan of snijden?
Kansverdeling a priori:
2-2: 41% 3-1: 49% 4-0: 10%
W O W O W O
VB 32 VB2 3 -- VB32
V3 B2 VB3 2 VB32 --
V2 B3 V32 B
B3 V2 B32 V
B2 V3 V B32
32 VB B V32
3 VB2
2 VB3
Kansen a priori : Oost heeft V sec = 49/8 = 6,2 %; Oost heeft VB sec = 41/6= 6,8%.
Er lijkt dus weinig verschil te zijn in de kans op succes als je slaat of snijdt, maar dit is onjuist !
Dit probleem is vergelijkbaar met het driedeurenprobleem van de Monty Hall (of Willem Ruis Show)
Er zijn drie deuren waarvan er twee zijn afgesloten en één die niet is afgesloten en een grote prijs bevat.
Je mag willekeurig één deur aanwijzen. Vervolgens toont de quizmaster dat één van de beide andere deuren is afgesloten.
De vraag is nu of je het beste bij je eerste keuze kunt blijven of dat je beter kunt switchen naar de andere deur die nog niet is geprobeerd ?
Antwoord: Dit is een geval van a posteriori kansverdeling. Vooraf is de kans bij iedere deur 1/3. De kans dat je dus de juiste deur hebt aangewezen
in het begin is dan ook 1/3. Deze kans verandert niet doordat de quizmaster één van de beide andere deuren heeft geëlimineerd.
Dus is de kans op succes 2/3 als je switcht naar de andere deur die nog niet is geprobeerd.
In bridge wordt dit geval 'restricted choice' genoemd. Het essentiële punt hier is dat als oost VB sec heeft hij/zij de helft van de keren de V bijspeelt en de helft van de keren de B. Dus de kans dat oost BV sec heeft is maar half zo groot als dat het een secce honneur was. In bovenstaande 'Geval 2' is dus de kans dat West de andere ontbrekende honneur heeft 2/3 en dus is het veel kansrijker om te snijden (2/3 kans op succes) dan te slaan (1/3 kans of succes) !
====================================================================
Theorie van de vacante plaatsen
● Wanneer de verdeling van 1 (of meer)kleur(en) VOLLEDIG bekend is,
● is de kans dat een tegenstander een specifieke kaart heeft in een andere kleur, evenredig met het aantal resterende vacante plaatsen in de hand
Voorbeeld 1
Stel je bezit:
♠AB5 (dummy)
♠H103 (hand)
Links heeft geopend met 1♠ (5-kaart), rechts heeft dus een doubleton ♠ : Kans op ♠V links is 5/7
Links heeft nog 6 plaatsen vrij en Rechts heeft nog 11 plaatsen vrij: voor elke kaart in een andere kleur is de kans dus 11/6 bij rechts.
Voorbeeld 2
♠V75 ♠H9
♥A10763 ♥VB9842
♦82 ♦A65
♣1095 ♣A3
Noord opent 3♦ (7-kaart), OW spelen 4♥
Zuid komt uit met ♦V, door Noord met de ♦H overgenomen.
Op ♥V speelt Zuid de ♥5 (alleen de ♥H is nog niet bekend) A priori: kans op 1-1 = 52 %
Maar: Zuid heeft nog 11 vacante plaatsen, Noord nog 6. Kans op Heer bij Zuid: 11/6 (65%) Dus snijden !
Algemene regel:
Als een speler een groot aantal kaarten in een bekende zijkleur bezit is de kans dat hij ook het grootste aantal in een andere kleur bevat, klein.
= Wet van Borel & Cheron
'Een lange kleur trekt een korte kleur aan en stoot een andere lange kleur af'
Samenvatting
● Willekeurig door de computer gedeelde spellen voldoen aan het theoretische verwachtingsmodel.
● Verdelingstabel voor ontbrekende kaarten ,geven a priori percentages.
● Onthoud alleen de belangrijkste situaties: ze geven steun bij de beslissing snijden of opvallen spelen.
● Probeer kansen te combineren en houd (indien mogelijk) rekening met “slechte” zitsels
● Wanneer twee speelwijzen weinig van elkaar lijken te verschillen, kies dan snel en hoop er het beste van
● Kansen veranderen sterk door bieden of spelen:grote lengte in één kleur, trekt een tekort in een ander kleur aan
● Het meest praktische hulpmiddel aan tafel, is het tellen van de lege plaatsen, als het zitsel van tenminste 1 kleur volledig bekend is.
====================================================================
De oefenspellen
Spel 1 Noord/Niemand
Noord
♠ H 8 7
♥ H V B
♦ 9 7 5 4
West ♣ 10 9 6 Oost
♠ V B 5 ♠ A 6 3
♥ 6 4 3 ♥ 7 5 2
♦ A B 10 2 ♦ H
♣ 8 5 3 Zuid ♣ A H V 7 4 2
♠ 10 9 4 2
♥ A 10 9 8
♦ V 8 6 3
♣ B
West speelt 3SA. Uitkomst: ♥H.
-----------------------------------------------------
Nadat NZ 4 ♥-slagen hebben gemaakt, vervolgt Zuid met ♦3. In O en W is een kleine ♠ weggedaan.
Maar nu?
a. Of laten lopen naar ♦H en hopen dat de ♣ 2-2 zit, zodat je met ♣ terug kunt naar de hand om ♦A te kunnen incasseren.
b. Neem ♦A en snij op ♠ H
a: kans 2-2 = 40%
b. snit = 50 %
=========================================
Spel 2 Oost/NZ
Noord
♠ A 5
♥ A V 3
♦ H 7 6 5
West ♣ V 9 4 2 Oost
♠ B 7 ♠ V 6 4 3
♥ B 10 4 ♥ H 9 8 6 5
♦ V 9 8 3 ♦ 10 2
♣ A 10 7 6 Zuid ♣ H 3
♠ H 10 9 8 2
♥ 7 2
♦ A B 4
♣ B 8 5
Noord speelt 2SA. Uitkomst ♥5.
-----------------------------------------------------
Je hebt 6 vaste slagen: 2♠, 2♥ en 2♦
Sla ♠ A en ♠ H: succesvol bij 3-3 en 4-2 met honneurs verdeeld
3-3 = 35 %.
Alle 4-2 = 48%, maar als je VBxx buiten beschouwing laat, nog ca 28%
Dus totale slaagkans: ca 63%.
=========================================
Spel 3 Zuid/NZ
Noord
♠ H B 10 4
♥ A H 7 3
♦ A V 4
West ♣ H 6 Oost
♠ 7 ♠ 6 5 2
♥ 10 8 2 ♥ V 9 6 4
♦ 10 9 3 2 ♦ H B 7
♣ V 9 7 5 3 Zuid ♣ A B 4
♠ A V 9 8 3
♥ B 5
♦ 8 6 5
♣ 10 8 2
Zuid speelt 4♠. Uitkomst: ♣5.
-----------------------------------------------------
De 3e klaveren wordt getroefd.
De ♦ snit geeft een 50% slaagkans, maar het kan beter: Speel eerst ♥3 naar de ♥B: als de ♥V gunstig zit maak je 3 ♥slagen, zodat er een ♦ weg kan op de derde harten. Zit ♥V fout, dan blijft de snit nog over.
Dus kans a priori = 75%
=========================================
Spel 4 West/Allen
Noord
♠ V 9 2
♥ V 8
♦ H 7 4 2
West ♣ V 9 5 3 Oost
♠ 6 4 ♠ H 10 3
♥ H B 7 3 ♥ A 9 2
♦ A V 9 5 ♦ B 10 8
♣ 7 6 4 Zuid ♣ A H B 2
♠ A B 8 7 5
♥ 10 6 5 4
♦ 6 3
♣ 10 8
Oost speelt 3SA. Uitkomst ♠ 5 of ♠ 7.
-----------------------------------------------------
Met ♦H goed heb je al de 9 slagen. Maar je kunt de kansen verbeteren door eerst de bijkleur te testen. Speel de ♥-kleur aan: ♥V blijkt 2e te zitten Zodat de ♥10 eruit gesneden kan worden. Omdat Zuid al 4+ in ♠ heeft +4 in ♥, moet hij kort zijn in de lage kleuren. De ♦ snit lijkt daardoor minder kansrijk. Speel ♣A, steek over naar ♦A en snij over ♣V.
=========================================
Spel 5 Noord/NZ
Noord
♠ 9 5
♥ A H B 8 6 2
♦ A 9 5
West ♣ A V Oost
♠ H 10 7 4 2 ♠ B 8 6 3
♥ 7 4 3 ♥ 5
♦ H 8 2 ♦ V B 10 3
♣ B 9 Zuid ♣ H 10 6 2
♠ A V
♥ V 10 9
♦ 7 6 4
♣ 8 7 5 4 3
Noord speelt 4♥. Uitkomst ♦V.
-----------------------------------------------------
Je hebt 9 slagen. Eén geslaagde snit (van de twee) is al voldoende (75%).
Maar beter is ♣A en ♣V te spelen. Wanneer de ♣ kleur 3-3 of 4-2 zit (samen 84%), kun je 1♣ vrij troeven voor een ♠-discard.
[Zit de de kleur onverhoopt 5-1, dan heb je altijd nog de ♠ snit] [ a priori kans 84 + ½ x(100-84)= 92%].
=========================================
Spel 6 Zuid/OW
Noord
♠ H
♥ A `8 4 3 2
♦ V 7 4
West ♣ 10 9 7 4 Oost
♠ V 7 3 ♠ A 6 4
♥ V 10 5 ♥ 9 7
♦ A 9 6 5 ♦ H B 10 8 3
♣ B 6 2 Zuid ♣ A H 5
♠ B 10 9 8 5 2
♥ H B 6
♦ 2
♣ V 8 3
Oost speelt 3SA. Uitkomst ♠B, ♠3, ♠H(!),♠A.
-----------------------------------------------------
Kennelijk zit ♠ H sec. Op ♦A en kleine ♦ naar de ♦H, speelt Noord 2x een kleine ♦ bij. Wat nu? Spelen op het vallen van ♦V of snijden op ♦V. A priori is de kans op 2-2 40,7%, maar door het spelen van 2x een kleine ♦ door Noord zijn een aantal verdelingen uitgesloten, nl. de 2-2 met de V in Noord (20,4 %) en ook de 3-1 met V-sec heeft zich niet voorgedaan, dus blijft de helft van 3-1 over = ½ x 50 = 25% met de kans op Vxx bij noord : 19%. De verhouding wordt dan 20,4 / 19 of 52% ten gunste van de 2-2.
Niettemin moet je toch snijden: Zuid heeft 6♠ + 1♦ = 7 kaarten laten zien:dus nog 6 vacante plaatsen. Noord heeft 1♠ + 2♦ = 3, dus nog 10 lege plaatsen. Kans op ♦V bij Noord: 10/16 oftewel 62,5%.
=========================================
Spel 7 Zuid/Allen
Noord
♠ 9 7 3
♥ A B 9 7 3
♦ H B 10 4
West ♣ 6 Oost
♠ V B 10 2 ♠ H 6 4
♥ 4 ♥ H 10
♦ A 8 6 5 ♦ 9 3 2
♣ B 9 8 3 Zuid ♣ H 10 7 4 2
♠ A 8 5
♥ V 8 7 6 2
♦ V 7
♣ A V 5
Zuid 4♥, Uitkomst ♠ V.
-----------------------------------------------------
Je telt 2♠ verliezers en ♦A. Op een kleine ♥ speelt west klein bij.
Snijden op ♥H geeft een 50% kans, beter is: Sla ♥A (kans op♥H sec bij Oost = 1/3 x 78 x1/2 = 13%, ) en neem direct de ♣-snit (50%).
A priori kans 63%.
=========================================
Spel 8 West/Niem
Noord
♠ 9 5
♥ A H 9 8
♦ H B 9 6
West ♣ B 10 8 Oost
♠ A H V B 6 4 3 ♠ 10 8 7
♥ 7 2 ♥ B 3
♦ 5 ♦ A 7 4 3 2
♣ A 5 4 Zuid ♣ 9 6 2
♠ 2
♥ V 10 6 5 4
♦ V 10 8
♣ H V 7 3
West speelt 4♠. Uit : ♥A,♥H en ♣B.
-----------------------------------------------------
Je hebt 4 verliesslagen (2♥ +2♣).
Je kunt een ♣ wegdoen op een vrije ♦ als die 4-3 verdeeld zit (62%). Daarvoor moet je 4x aan tafel komen. Je moet dus direct op ♠ 9 snijden. Dus totale kans: ½ x 62 = 31%. (Noord kan deze winstkans elimineren door in plaats van ♣B troef na te spelen.)
=========================================
Spel 9 Noord/OW
Noord
♠ V 8
♥ B 10 7 6 5
♦ 6 3 2
West ♣ V 3 2 Oost
♠ B 9 5 2 ♠ H 10 7 6 4 3
♥ A 9 3 2 ♥ H V
♦ A H 9 8 ♦ 10 5
♣ A Zuid ♣ H 7 5
♠ A
♥ 8 4
♦ V B 7 4
♣ B 10 9 8 6 4
Oost speelt 6♠. Uitkomst ♦V.
-----------------------------------------------------
Op een kleine ♠ uit West speelt Noord ♠8 bij. Je mist nog ♠V en ♠A. Wat speel je uit de hand? De volgende mogelijkheden zijn er:
Noord Zuid
8 AV
V8 A
A8 V
AV8 -
Voor de 1e situatie bestaat er geen remedie. In 2 van de 3 andere situaties is snijden beter: speel dus laag uit de hand.
=========================================
Spel 10 Zuid/Allen
Noord
♠ H B
♥ 7 5 4
♦ A B 9 8 7 6
West ♣ 10 3 Oost
♠ A 10 8 ♠ 9 5 4 3
♥ H V 10 8 ♥ B 3 2
♦ 5 3 ♦ V 2
♣ 9 7 6 4 Zuid ♣ V B 8 5
♠ V 7 6 2
♥ A 9 6
♦ H 10 4
♣ A H 2
Zuid speelt 3SA. Uitkomst ♥H.
-----------------------------------------------------
Je hebt 5 vaste slagen. Er moeten nog 4 slagen ontwikkeld worden. ♦ is de werkkleur. Je moet ♦V vinden: met 9 kaarten en ♦A en ♦H: slaan.
=========================================
Spel 11 Zuid/Niem
Noord
♠ H 4 3
♥ V 9 8 5 2
♦ V 10 8
West ♣ A 2 Oost
♠ V 9 5 ♠ A B 8
♥ B 10 7 ♥ A H
♦ A 7 6 4 ♦ B 3
♣ V 8 6 Zuid ♣ H 10 9 7 5 4
♠ 10 7 6 2
♥ 6 4 3
♦ H 9 5 2
♣ B 3
West speelt 3SA. Uitkomst: ♥2.
-----------------------------------------------------
Speel ♣ naar de ♣V, genomen door het aas. Eenmaal aan slag: een kleine ♣ naar de H10: Noord speelt klein. Snijden op de ♣B of de Heer zetten?
Ook hier: met 9 kaarten samen : slaan.
=========================================
Spel 12 West/NZ
Noord
♠ A H 9 7
♥ A 10 2
♦ -
West ♣ A H B 7 3 2 Oost
♠ V 10 4 ♠ 8 6 3
♥ 6 5 4 3 ♥ H 9 8
♦ H 7 6 3 2 ♦ A V B 8 6 4
♣ 6 Zuid ♣ 10
♠ B 5 2
♥ V B 7
♦ 10 9
♣ V 9 8 5 4
Noord speelt 6♣. Uitkomst ♦A.
-----------------------------------------------------
Bij het spelen blijkt ♥H verkeerd te zitten. Er mag dus geen ♠-slag verloren gaan.
Er zijn twee mogelijkheden:
(1) AH slaan en dus spelen op Vx (= 1/3 x 48 =16%)
(2) Dubbele snit op V10 bij West (= ½ x ½ = ¼ of 25%)
